AlgËbre3 : RÈduction des endomorphismes Cours et Exercices

Abstract

La rÈduction díendomorphisme a pour objectif díexprimer des matrices et des endomorphismes sous une forme plus simple, par exemple pour faciliter les calculs. Cela consiste essentiellement ‡ trouver une dÈcomposition de líespace vectoriel en une somme directe de sous-espaces stables sur lesquels líendomorphisme induit est plus simple. Lorsque líespace vectoriel E est de dimension Önie, líÈtude de líendomorphisme f se ramËne immÈdiatement ‡ celle de sa matrice par rapport ‡ une base donnÈe. La matrice obtenue est une matrice carrÈe. Souvent, la mÍme base de E est considÈrÈe au dÈpart et ‡ líarrivÈe. Moins gÈomÈtriquement, cela correspond ‡ trouver une base de líespace dans la quelle líendomorphisme síexprime simplement. líespace vectoriel sur lequel síapplique líendomorphisme possËde des propriÈtÈs di§Èrentes selon les cas. Lorsque líespace est de dimension Önie, la structure du corps dÈtermine líessentiel des propriÈtÈs de rÈduction. Cette approche, qui fait intervenir líanneau des polynÙmes associÈ au corps. Le cas le plus simple est celui o˘ le corps est algÈbriquement clos, cíest-‡-dire que tout polynÙme non constant admet au moins une racine. Cíest le cas des nombres complexes. Alors la rÈduction est particuliËrement e¢ cace. elle mËne ‡ líÈtude des sous-espaces caractÈristiques, qui fournit une rÈduction simple de líendomorphisme, dite rÈduction de Jordan. Elle permet alors de comprendre pourquoi le polynÙme caractÈristique est un multiple du polynÙme minimal, et fournit donc une dÈmonstration du thÈorËme de Cayley-Hamilton. Elle est enÖn la base díune famille díalgorithmes souvent largement plus rapides quíune approche par les dÈterminants. La notion de valeur propre devient le bon outil dans ce contexte. Lorsquíil existe une base de vecteurs propres, on parle de diagonalisation. cette deniËre est un procÈdÈ díalgËbre linÈaire qui permet de simpliÖer la description de certains endomorphismes díun espace vectoriel, en particulier de certaines matrices carrÈes. Elle consiste ‡ rechercher et expliciter une base de líespace vectoriel constituÈe de vecteurs propres, lorsquíil en existe une. En dimension Önie, la diagonalisation revient 3 Introduction en e§et ‡ dÈcrire cet endomorphisme ‡ líaide díune matrice diagonale. Un vecteur propre est un vecteur non nul dont líimage par f est colinÈaire au vecteur díorigine. Le rapport de colinÈaritÈ est appelÈ valeur propre. Líensemble constituÈ des vecteurs propres de valeur propre , et du vecteur nul, est appelÈ le sous-espace propre de f associÈ ‡ la valeur propre . La dÈcomposition en sous-espaces propres possËde de bonnes propriÈtÈs : - Les sous-espaces propres sont en somme directe. - La restriction de líendomorphisme au sous-espace propre associÈ ‡ la valeur propre est líhomothÈtie de rapport . - Les propriÈtÈs recherchÈes pour une rÈduction optimale sont rassemblÈes. La diagonalisation díun endomorphisme a plusieurs díapplications, elles permet un calcul rapide et simple de ses puissances et de son exponentielle, ce qui permet díexprimer numÈriquement certains systËmes dynamiques linÈaires, obtenus par itÈration ou par des Èquations di§Èrentielles linÈaires. Le polycopiÈ est dÈstignÈ aux Ètudiant de la deuxiËme annÈe licence MathÈmatique, il se compose de troix chapitres, dans le premier chapitre on a exposÈ quelques prÈliminaires nÈcessaires pour le contenu comme líarithmetique des polynÙmes, la factorisation des polynomes sur le corps | et quelques notions trËs outils concernants líalgËbre lineaires comme la somme directe des sousespaces vectoriels, la matrice associÈe ‡ une application linÈaire dans des bases donnÈes, la rËgle de changement de bases, les dÈterminants. Dans le deuxiËme chapitre on a ÈtudiÈ la rÈduction des endomorphismes díespaces vectoriels de dimension Önie, díabord on a introduit quelques notions trËs outils concernants líalgËbre lineaires, aprÈs on a dÈÖni les espaces vectoriels stables par líendomorphismes en suite, les valeurs et les vecteurs propres, on a parlÈ des polynÙmes díendomorphismes o˘ on a commencÈ par les polynÙmes annulateurs en gÈnÈral, on particuliÈr le thÈorËme de cayley Hamilton et le polynÙme minimal, et par consÈquence on a donnÈ la deuxiËme critËre de la diagonalisation, aussi on a presentÈ les conditions de la trigonalisation des endomorphisme et la forme normale de Jordan. et le polynÙme caractÈristique, le polynome minimale o˘ on a abouti ‡ la premiËre critËre de la diagonalisation des endomorphismes. Dans le troisiËme chapitre on a prÈsentÈ quelques applications de la diagonalisation des endomorphismes, telles que la puissance, líexponentielle, suites rÈcurrentes linÈaires, rÈsolution des systËmes di§Èrentielles linÈairs. A la Ön de chaque chapitre on a appuyÈ le document par une serie des exercices