Introduction `a la G´eom´etrie Différentielle

Abstract

La g´eom´etrie diff´erentielle est une branche des math´ematiques qui combine les techniques de la g´eom´etrie et de l’analyse pour ´etudier les propri´et´es des courbes, des surfaces et des structures plus g´en´erales dans des espaces dits ≪ diff´erentiables ≫, comme les vari´et´es. Elle est apparue pour comprendre des objets g´eom´etriques complexes en utilisant des outils de calcul diff´erentiel, ce qui permet de les analyser localement comme des objets euclidiens. Notions de base Vari´et´es diff´erentiables : Une vari´et´e est un espace qui, localement, ressemble `a un espace euclidien de dimension donn´ee. Par exemple, la surface d’une sph`ere est une vari´et´e de dimension 2, car localement, elle ressemble `a un plan. Les vari´et´es permettent de g´en´eraliser la notion de surface et de courbe dans des dimensions plus ´elev´ees. Applications diff´erentiables : Ce sont des fonctions entre vari´et´es qui poss`edent des d´eriv´ees continues. Ces fonctions permettent de comparer des vari´et´es et d’´etudier comment elles se transforment les unes par rapport aux autres. Vecteurs tangents et espaces tangents : En tout point d’une vari´et´e, on peut d´efinir un espace tangent, qui est une approximation locale de la vari´et´e autour de ce point. Les vecteurs tangents, qui appartiennent `a cet espace, repr´esentent les directions possibles de d´eplacement sur la vari´et´e. Formes diff´erentielles et int´egration : Une forme diff´erentielle est un outil math´ematique permettant de g´en´eraliser la notion de fonction, en int´egrant sur des objets de dimension sup´erieure. Cela m`ene `a des r´esultats puissants comme le th´eor`eme de Stokes, qui relie l’int´egration sur une r´egion `a celle sur son bord, g´en´eralisant ainsi le th´eor`eme fondamental du calcul int´egral. Vari´et´es et cartes locales Au cœur de la g´eom´etrie diff´erentielle se trouve le concept de vari´et´e, qui g´en´eralise les courbes et surfaces en dimensions sup´erieures. Une vari´et´e de dimension n est un espace qui, localement, ressemble `a un espace euclidien de dimension n (comme une surface plane ou un espace `a trois dimensions). Par exemple, la surface d’une sph`ere est une vari´et´e de dimension 2 qui peut ˆetre d´ecrite localement comme un plan, mˆeme si globalement elle a une courbure positive. Les cartes locales et les atlases sont utilis´es pour d´ecrire ces vari´et´es en d´ecoupant l’espace en petits morceaux, chacun ressemblant v vi `a un espace euclidien simple. Courbes, surfaces et m´etriques Les objets de base de la g´eom´etrie diff´erentielle incluent les courbes et surfaces. Une courbe est une vari´et´e de dimension 1, tandis qu’une surface est une vari´et´e de dimension 2. Pour analyser la ”forme” de ces objets, on introduit une m´etrique, qui mesure les distances et angles `a l’int´erieur de la vari´et´e. Par exemple, dans une sph`ere, la m´etrique d´etermine la fa¸con dont on mesure les distances le long de sa surface incurv´ee. Cela permet de d´efinir des concepts comme la courbure, qui d´ecrit l’´etendue de l’incurvation d’une surface ou d’une vari´et´e. Applications de la g´eom´etrie diff´erentielle La g´eom´etrie diff´erentielle est centrale en physique th´eorique, notamment en relativit´e g´en´erale o`u l’espace-temps est mod´elis´e comme une vari´et´e courb´ee. Elle est ´egalement utilis´ee en m´ecanique, en th´eorie des syst`emes dynamiques, et dans l’´etude des surfaces en g´eom´etrie. En conclusion, la g´eom´etrie diff´erentielle offre une vue riche et profonde des objets g´eom´etriques `a travers le prisme de la d´erivation et de l’int´egration. Elle constitue un domaine fondamental pour les math´ematiques appliqu´ees et th´eoriques. Ce cours est une initiation `a la g´eom´etrie diff´erentielle, dans lequel je donne une introduction tr`es simple et des donn´es g´en´eral, la plupart du temps sans d´emonstration, car le cours est destin´e au ´etudiants de Licence Math´ematiques et de Master non G´eom`etre Dans notre cas, sont des sp´ecialit´es L3 : Analyse et M2 : Analyse Fonctionnelle `a l’universit´e de Ghardaia.