Classification des hypersurfaces affines tridimensionnelles homogènes localement fortement convexes

Abstract

Dans ce mémoire, nous étudierons la classification d’ hypersurfaces affines tridimensionnelles homogènes localement fortement convexes de R 4 établie par Dillen et Vranken. L’opérateur de forme S est toujours diagonalisable, et les valeurs propres de S sont constantes. Selon le nombre de différentes valeurs propres, nous allons démontrer les deux résultats suivants : Théorème 1 : Il n’existe pas des hypersurfaces de dimension 3 localement fortement convexe, localement homogène dans R 4 dont l’opérateur de forme S a trois valeurs propres distinctes. Théorème 2 : Soit M3 une hypersurface localement fortement convexe et localement homogène dans R 4 , dont l’opérateur de forme a deux valeurs propres distinctes. Alors M est affinement équivalente à la partie convexe de l’une des hypersurfaces suivantes : (y − 1 2 (x 2 + z 2 ))4w 2 = 1 (y − 1 2 x 2 ) 3 (z − 1 2 w 2 ) 3 = 1 (y − 1 2 x 2 ) 3 v 2w 2 = 1 (y − 1 2 x 2 − 1 2 w 2 z ) 4 z 3 = 1