Cours du module : AlgËbre1 PremiËre annÈe LMD

Abstract

LíalgËbre (de líarabe al-jabr) est une branche des mathÈmatiques qui permet díexprimer les propriÈtÈs des opÈrations et le traitement des Èquations et aboutit ‡ líÈtude des structures algÈbriques. Selon líÈpoque et le niveau díÈtudes considÈrÈs, elle peut Ítre dÈcrite comme : Une arithmÈtique gÈnÈralisÈe, Ètendant ‡ di§Èrents objets ou grandeurs les opÈrations usuelles sur les nombres, La thÈorie des Èquations et des polynÙmes, Depuis le dÈbut du XXeme

siËcle, líÈtude des structures algÈbriques (algËbre gÈnÈrale ou

abstraite).

Historiquement, les structures algÈbriques sont apparues dans di§Èrents domaines des mathÈ- matiques, et níy ont pas ÈtÈ ÈtudiÈes sÈparÈment. Cíest pourquoi líalgËbre gÈnÈrale pos-sËde beaucoup

de connexions avec toutes les branches des mathÈmatiques, un grand nombre de types de structures al- gÈbriques vÈriÖent di§Èrents axiomes (groupes, anneaux, corps, espaces vectoriels,...etc.). Pour ces dif- fÈrents types de structures, on dÈÖnit une notion díhomomorphisme et des constructions de structures

qui sont analogues ou qui ont des propriÈtÈs analogues (sous-structures, quotients, produits,...etc.). Ces homomorphismes et ces constructions ont un grand nombre de propriÈtÈs qui sont semblables

(líintersection de sous-groupes, de sous-anneaux,...etc., en est un, líimage díun sous-groupe, díun sous- anneau,...etc., par un homomorphisme en est un aussi). On a alors dÈÖnit de maniËre gÈnÈrale et

abstraite les structures algÈbriques pour pouvoir traiter de maniËre uniforme ces constructions et leurs propriÈtÈs, et on a pu, par la suite, se concentrer sur les propriÈtÈs propres ‡ chacune de ces structures.

Vue ‡ líinteret de ce domain vaste de mathÈmatique, on síinteresse dans ce cours de math- Èmatiques de premiËre annÈe essentielement, par les notions díalgËbre gÈnÈrale, et se divise en cinq

chapitres, le premier dÈbute par la logique et les ensembles, qui sont des fondamentaux en math- Èmatiques, ensuite on prÈsente les relations binaires dÈÖnies sur un ensemble. EnÖn il se termine

par líÈtude, des structures algÈbriques ainsi que líanneau de polynÙmes, et pour motiver ces notions díalgËbre, le cours se comporte ‡ la Ön de chaque partie, des exercices avec des solutions.